Как найти касательную к функции
Касательная линия графика функции имеет особое значение в математике и физике. Она является прямой, которая касается графика функции в определенной точке и имеет тот же наклон, что и кривая в этой точке.
Ниже представлены основные теоретические аспекты нахождения касательной к функции, а также практические рекомендации по ее доказательству и вычислению.
- Как найти касательную к графику функции в точке
- Как доказать касательную
- Чему равны касательные
- Что такое касательная к функции
Как найти касательную к графику функции в точке
Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y=f(x):
- Обозначаем абсциссу точки касания буквой a.
- Вычисляем f(a).
- Находим производную функции f'(x) и вычисляем f'(a).
- Подставляем найденные значения a, f(a) и f'(a) в формулу y= f(a) + f'(a)(x-a).
Таким образом, уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке (a,f(a)) имеет вид: y= f(a) + f'(a)(x-a).
Как доказать касательную
Теорема: Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной.
Доказательство: Пусть A — центр окружности, B — точка на окружности, C — точка, в которой искомая касательная касается окружности, D — проекция точки C на радиус AB, E — пересечение касательной с радиусом AB.
Так как C и E лежат на одной прямой, то угол BAC = BAD = BCE. С другой стороны, угол BAC равен углу ACE, так как прямая CE перпендикулярна радиусу AB. Значит, треугольник ACE равнобедренный, ибо AC = CE.
Таким образом, CD — биссектриса угла ACE. В силу свойства касательной, угол BCD = 90 градусов. Значит, угол BCE = 45 градусов, а угол BAC = 90 — 45 = 45 градусов.
Следовательно, угол BAC равен углу BCE, что означает, что прямая CE касается окружности в точке C.
Чему равны касательные
Теорема о касательной и секущей: Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению длин секущей на ее внешнюю часть.
Доказательство: Пусть M — точка пересечения секущей и касательной, A и B — точки пересечения секущей с окружностью, C — точка касания касательной и окружности, OM = h — расстояние от точки M до центра окружности, MA = a — длина внешней части секущей.
Так как касательная является перпендикуляром к радиусу, проведенному в точке касания, то AB || OC. А значит, угол CMB = A.
Так как MS || AB, значит, угол MBM' = A. Тогда треугольники M'BM и M'CO равны по стороне и двум углам, значит, OM = BMcosA.
Тогда, из прямоугольного треугольника M'BM имеем BM^2 = MB^2-M'M^2 = a(a+2h), поэтому h = (BM^2-a^2)/(2a).
Тогда OM = (BM^2 — a^2)/(2a) и MC^2 = (h^2 + BM^2) = BM^2 + OM^2 = a(2BM^2 — a^2)/(2a) = BM^2 — MA^2.
Таким образом, MC^2 = MA・MB.
Что такое касательная к функции
Касательной к графику функции f, дифференцируемой в точке х0, называется прямая, проходящая через точку (x0, f(x0)) и имеющая угловой коэффициент k=f'(х0).
Полезные советы:
- Прежде чем искать касательную к графику функции, необходимо проверить ее дифференцируемость.
- При решении задач нахождения касательной важно точно определить точку касания.
- Для практических применений можно использовать программы для построения графиков и нахождения касательных.
